Não é que alguém tenha dito que problemas matemáticos sofisticados não podem ser resolvidos por adolescentes que não concluíram o ensino médio.
Mas as chances de tal resultado teriam parecido remotas.
No entanto, um artigo publicado em 10 de fevereiro deixou o mundo da matemática ora atordoado, ora encantado, ora pronto para receber um novo talento ousado.
Sua autora era Hannah Cairo, com apenas 17 anos na época.
Ela havia resolvido um mistério de 40 anos sobre o comportamento das funções, chamado conjectura de Mizohata-Takeuchi.
“Ficamos todos chocados, absolutamente.
Não me lembro de ter visto nada parecido”, disse Itamar Oliveira, da Universidade de Birmingham, que passou os últimos dois anos tentando provar que a conjectura era verdadeira.
Em seu artigo, Cairo demonstrou que ela é falsa.
O resultado desafia as intuições habituais dos matemáticos sobre o que as funções podem ou não fazer.
O mesmo acontece com a própria Cairo, que encontrou uma prova após anos de isolamento em casa e um caminho nada convencional no mundo da matemática.
Um mundo sem fronteiras
Cairo cresceu em Nassau, nas Bahamas, para onde seus pais se mudaram para que seu pai pudesse trabalhar como desenvolvedor de software.
Ela e seus dois irmãos — um três anos mais velho e o outro oito anos mais novo — foram todos educados em casa.
Cairo começou a aprender matemática usando as aulas online da Khan Academy e rapidamente avançou no currículo padrão.
Aos 11 anos, ela já havia concluído o curso de cálculo.
Logo, ela consumiu tudo o que estava disponível online.
Seus pais encontraram alguns professores de matemática para lhe dar aulas particulares remotamente — primeiro Martin Magid, do Wellesley College, e depois Amir Aazami, da Clark University.
Mas grande parte de sua educação foi autodirigida, pois ela lia e absorvia, sozinha, os livros didáticos de matemática de nível de pós-graduação que seus tutores recomendavam.
“Finalmente”, lembrou Cairo, Aazami “disse algo como: ‘Ele se sente desconfortável sendo pago, porque sente que não está realmente me ensinando.’ Porque, na maioria das vezes, eu lia o livro e tentava provar os teoremas’.” Mas Cairo achava o ensino domiciliar limitante.
“Havia uma mesmice inescapável, de certa forma.
Não importava o que eu fizesse, eu estava no mesmo lugar, fazendo basicamente as mesmas coisas”, disse ela.
“Eu estava muito isolada, e nada que eu pudesse fazer poderia realmente mudar isso.
Eu acordava em certos dias e percebia que estava apenas mais velha.”
A matemática se tornou uma espécie de escape, um espaço que parecia expansivo quando sua vida cotidiana não era.
“A matemática era outro mundo que eu podia explorar.
Um mundo que não era limitante, um mundo que eu podia acessar a qualquer momento apenas pensando nele”, disse ela.
“Foi assim que eu cresci, pensando na matemática como um mundo de ideias que eu posso explorar sozinha.
Esse tipo de processo me ajudou a ver a matemática de forma diferente de muitas pessoas.” Em 2021, em meio à pandemia de Covid, o mundo de Cairo começou a se expandir, mesmo que estivesse se estreitando para muitos outros.
As restrições de viagem deixaram sua família presa na casa dos avós em Chicago.
Enquanto estavam lá, ela se juntou aos Círculos de Matemática de Chicago, onde professores e alunos se reúnem para resolver problemas complexos juntos.
A experiência a levou a se candidatar, no ano seguinte, a um programa de verão online de duas semanas, oferecido pelo Círculo de Matemática de Berkeley, que formou alguns dos talentos matemáticos mais excepcionais do mundo.
Em sua inscrição, ela listou um conjunto de disciplinas autodidatas que, juntas, compunham o equivalente a um diploma avançado de graduação em matemática.
Ela tinha 14 anos.
“Hannah é acima e além do comum”, disse Zvezdelina Stankova, matemática em Berkeley e fundadora do Berkeley Math Circle.
“Toda vez que ela se candidata a uma faculdade ou programa, ela está vários níveis à frente.” No entanto, essas experiências esparsas nunca convenceram Cairo de que ela tinha uma habilidade matemática excepcional.
Ela é de fala mansa, aberta e humilde, e parece genuinamente insegura sobre como sua habilidade se compara à de qualquer outra pessoa — em parte porque, durante anos, sua única referência foi ela mesma.
“Quando criança, eu não sabia realmente se tinha talento”, disse ela.
“Gosto de tocar piano, e as pessoas ao meu redor me diziam que eu era muito talentosa em matemática e piano.
E, olhando para trás, agora que olho para isso, posso ver, claro, que meu piano estava acima da média.
Mas não era de forma alguma excepcional.
Por outro lado, parece que, matematicamente, eu sou, tipo, sei lá.”
Encontrando seu lugar
Em 2023, após um segundo verão no Berkeley Math Circle, Cairo se perguntou qual seria seu próximo passo.
Ela já havia se candidatado a várias universidades e, embora a maioria das instituições a rejeitasse — ela ainda não havia concluído o ensino médio —, foi aceita pela Universidade da Califórnia, Davis.
Deveria começar a graduação três anos antes?
Ou deveria buscar oportunidades educacionais em outro lugar?
Stankova a incentivou a participar do programa de matrícula simultânea de Berkeley, onde ela poderia cursar matemática em nível de pós-graduação com pesquisadores renomados na área.
Cairo seguiu esse conselho.
No outono de 2023, sua família se mudou para Davis, 96 quilômetros a nordeste de Berkeley.
Lá, seu irmão mais velho se matriculou como calouro na UC Davis, e seus pais permitiram que ela se deslocasse para Berkeley às terças e quintas-feiras.
Na primavera, ela já frequentava a universidade cinco dias por semana e fazia várias outras aulas.
Ela se lembra desse período como um momento em sua vida em que começou a se sentir cheia de possibilidades.
“Eu tinha começado a fazer amigos e estava me sentindo bem”, disse ela.
Após o término do semestre de primavera, sua família se mudou de Davis para Berkeley — seu irmão havia decidido se transferir para lá — e Cairo finalmente se sentiu capaz de se estabelecer.
Mesmo assim, foi uma adaptação.
“Eu não tinha muitas experiências sociais, então ainda precisava aprender a interagir com outros humanos”, disse ela.
À medida que o ano letivo de 2024-2025 se aproximava, Cairo considerou quais cursos faria.
Uma disciplina em particular chamou sua atenção — um curso de pós-graduação em teoria das restrições de Fourier, um ramo da análise harmônica.
“Era uma das disciplinas de análise mais avançadas oferecidas naquele semestre, então pensei: vou fazer”, disse ela.
O professor do curso era Ruixiang Zhang, um matemático talentoso cujo caminho na área seguiu um caminho mais tradicional: uma medalha de ouro na Olimpíada Internacional de Matemática de 2008, a prestigiada competição do ensino médio; um doutorado pela Universidade de Princeton; um pós-doutorado no Instituto de Estudos Avançados; uma posição de estabilidade em Berkeley, um dos principais departamentos de matemática do mundo.
Cairo enviou um e-mail para Zhang, solicitando sua matrícula.
“Hannah estava muito focada e parecia apaixonada pelo tema”, disse ele.
“Essa atitude por si só já me basta, então simplesmente dei permissão a ela.” Em poucas semanas, enquanto trabalhava em um conjunto de problemas, ela se deparou com um problema no qual não conseguia parar de pensar.
Crédito extra
O problema era uma versão simplificada da conjectura de Mizohata-Takeuchi.
Zhang o havia incluído em uma de suas tarefas de casa como aquecimento, na esperança de incentivar os alunos a praticar técnicas avançadas em uma área profunda da matemática.
A tarefa também incluía uma extensão opcional, convidando-os a considerar se a prova que haviam encontrado para o caso simplificado poderia ser estendida a formulações mais complexas do problema.
Cairo completou o conjunto de problemas e aceitou o convite de Zhang para continuar pensando.
Para ela, parecia natural seguir o fio condutor de uma ideia até onde ela fosse.
“Por que eu pararia?”, disse ela.
A conjectura de Mizohata-Takeuchi é um problema em análise harmônica, um campo que estuda como funções são montadas a partir de componentes ondulatórios.
Qualquer função dada pode ser escrita como a soma de partes ondulatórias mais simples, chamadas ondas senoidais.
Cada uma dessas ondas senoidais, por sua vez, possui uma frequência.
Os matemáticos frequentemente desejam entender a natureza de funções que só podem ser construídas a partir de ondas senoidais com determinadas frequências.
Nesses casos, as únicas frequências permitidas são aquelas que satisfazem equações que esculpem superfícies específicas, como uma esfera.
Isso ocorre porque as funções que definem muitas ondas físicas — como luz, som e partículas quânticas — são restritas a esses tipos de frequências.
A conjectura de Mizohata-Takeuchi considera funções construídas a partir de ondas cujas frequências se encontram nessa superfície.
Ela afirma que a energia da função — uma medida de quão grande a função se torna — só pode ser distribuída e concentrada em padrões específicos.
É como se você estivesse tocando música em uma sala com formato estranho.
Às vezes, a música pode ecoar e amplificar, ficando muito alta.
Mas quando isso acontece, só acontece em certos pontos.
Ao longo das décadas, os matemáticos fizeram progressos limitados em alguns casos especiais da conjectura de Mizohata-Takeuchi.
Mas o problema geral permaneceu em aberto.
Nenhum dos métodos padrão parecia capaz de solucioná-lo.
Essa impenetrabilidade fez com que alguns matemáticos suspeitassem que a conjectura fosse falsa; outros achavam que sua elegância a tornava mais provável de ser verdadeira.
“Em algumas manhãs, eu acordava com a ideia de que, por ser tão simples e elegantemente formulado, e por ser tão amplo, no final tinha que ser verdade”, disse Tony Carbery, matemático da Universidade de Edimburgo que trabalhou no problema por décadas.
“Em outras manhãs, eu acordava e dizia…
não pode ser verdade de forma simplista.”
Os matemáticos se encontravam em um impasse.
Superando Limites
No caminho para a demonstração de qualquer problema difícil, há muitas dúvidas.
Os matemáticos duvidam de suas abordagens, duvidam de suas intuições, duvidam que a ideia que estão seguindo — tão promissora no momento — realmente se sustente.
No caso de Cairo, essas dúvidas foram amplificadas.
Ela era nova na área, e seus primeiros esforços para provar a conjectura completa foram hesitantes e incompletos.
Ela questionou se estava indo na direção certa.
Zhang também.
“Fui ao consultório e perguntei a ele: ‘Essas ideias funcionam?’.
Acabou que não, porque eram bobas”, disse ela.
“Havia uma troca de ideias.
Eu chegava ao consultório com novas ideias e perguntava se funcionavam.
E ele dizia que não.”
Cairo continuou lendo e pensando.
Por fim, encontrou uma maneira de construir uma função estranha e complexa a partir de ondas cujas frequências se encontravam todas em uma superfície curva — o tipo de superfície que a conjectura exigia.
Normalmente, quando somamos esses tipos de ondas, elas interferem, cancelando-se em alguns pontos e reforçando-se em outros.
Mas Cairo mostrou que, em sua função, elas não se cancelavam como esperado.
Em vez disso, a interferência criava padrões irregulares, fazendo com que a energia da função se espalhasse por algumas áreas e se concentrasse em outras de uma forma fractal, o que a conjectura de Mizohata-Takeuchi proibia.
Ela se viu diante de uma construção matemática que, segundo muitos, não deveria existir.
A princípio, isso a deixou cautelosa.
“Isso é algo que acontece comigo com frequência”, disse ela.
“Chego a algo que parece uma prova e acho que tenho uma prova, mas [naquele momento] eu estava realmente errada.”
Então, duas coisas aconteceram.
A primeira foi que ela percebeu que poderia substituir sua construção complicada por uma muito mais simples e obter o mesmo resultado.
A outra foi que ela se convenceu, e a Zhang, de que o resultado estava correto.
“O artigo de Cairo é um ótimo exemplo de como conjecturas naturais e elegantes podem falhar de maneiras que não imaginávamos”, disse Oliveira.
“Mas, para ver isso, precisamos olhar com as lentes certas.”
Uma nova paisagem
A prova, e seu improvável autor, energizaram a comunidade matemática desde que Cairo a publicou em fevereiro.
“Eu fiquei absolutamente, ‘Uau’.
Este tem sido meu problema favorito por quase 40 anos, e fiquei completamente impressionada”, disse Carbery.
“Quando descobri que [Cairo] era muito mais jovem do que eu pensava, fiquei muito mais impressionado.
A elegância com que o artigo foi escrito é extraordinária.”
Os matemáticos estão entusiasmados com a forma como o trabalho de Cairo inspirará novas pesquisas.
“Tenho certeza de que, a partir de agora, sempre que nos depararmos com um problema de natureza semelhante, tentaremos testá-lo com construções semelhantes às de Cairo”, disse Oliveira.
Ele e outros na comunidade de análise harmônica também terão que lidar com um cenário diferente.
Na análise harmônica, há uma constelação de questões sobre como a energia de uma onda se concentra.
Se uma conjectura conhecida como conjectura de Stein fosse verdadeira, ela cimentaria as conexões entre algumas das questões mais importantes dessa constelação mais ampla.
Mas o trabalho de Cairo mostra que a conjectura de Stein é falsa.
Ela elimina um dos elos mais promissores que os matemáticos esperavam estabelecer entre as diferentes partes da análise harmônica.
O mundo da matemática também está se adaptando à existência da própria Cairo.
Depois de concluir a prova, ela decidiu se inscrever diretamente na pós-graduação, pulando a faculdade (e o diploma do ensino médio) completamente.
Na sua visão, ela já estava vivendo a vida de uma estudante de pós-graduação.
Cairo se candidatou a 10 programas de pós-graduação.
Seis a rejeitaram por ela não ter diploma universitário.
Dois a aceitaram, mas os superiores administrativos dessas universidades anularam essas decisões.
Somente a Universidade de Maryland e a Universidade Johns Hopkins se dispuseram a acolhê-la diretamente em um programa de doutorado.
📊 Informação Complementar
Ela começará em Maryland no outono.
Quando terminar, será seu primeiro diploma.
História original republicada com permissão da Quanta Magazine, uma publicação editorialmente independente apoiada pela Simons Foundation.
Leia o conteúdo original em At 17, Hannah Cairo Solved a Major Math Mystery
Este conteúdo foi traduzido com o auxílio de ferramentas de Inteligência Artificial e revisado por nossa equipe editorial.
Saiba mais em nossa Política de IA.
Fonte: estadao
17/08/2025 18:46
